数理科学，作为大自然的基础语言，其精妙之处在于，它早已被人类巧妙地运用于建筑设计的领域。它以几何学为主要手段，为建筑生成各种别具一格的形式。

欧几里得几何，作为人类营造活动中最为古老且实用的几何学应用，其简便的测量和构建方式使其广受欢迎。然而，随着人类对空间维度的深入思考，其他几何学理论也逐渐发展起来，为建筑设计带来了创新的灵感。

维度是几何对象的重要特征，它表示了描述几何对象所需的独立坐标数目。通常人们习惯于整数的维度。在欧氏空间中，点被视为零维，直线或曲线为一维，而空间则为三维。然而，通过稍微推广，还可以引入分维和高维空间的概念，以便于研究更抽象或更复杂的对象。关键是每个局部区域应与欧氏空间相对应。

1、欧几里得几何

欧几里得几何学是建筑设计中常用的几何学理论之一。它主要研究平面上的问题，并且认为人生活在一个绝对平的世界里。在建筑领域中，方形、圆形、三角形和六边形是比较常用的几何图形，它们具有明显的内聚性和向心性，并且可以用于二维平面和三维空间的设计。

埃克赛特图书馆是路易斯·康的经典之作，其设计体现了极强了几何感和对称感，呈现出一种理性的美。该图书馆外观方正，内部结构分为阅览区、藏书区和中庭三个部分。中庭的墙壁上挖了四个巨大的圆形洞口，形成鲜明对比，突显出人的渺小。而阅览区则采用了三角形独立座位设计，营造出一个静谧的私人空间。方形、圆形和三角形等几何图形在该作品中的运用，营造出一种静态的空间氛围，非常符合图书馆空间的设计需求。

2、黎曼几何

黎曼几何是德国数学家G.F.B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。黎曼几何是非欧几何的一种，也被称为“椭圆几何”。与欧氏几何的主要区别在于采用了不同的平行公理（在黎曼几何学中不承认平行线的存在。基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)；直线可以无限延长，但总的长度是有限的）。

黎曼几何将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。与欧式几何相比，黎曼几何的最大特点是将空间维度扩展到了四维甚至更高的维度。

在建筑领域中，黎曼几何在扎哈的建筑作品中运用得较多。扎哈擅长用曲线做设计，她的作品总是会带给人极强的视觉冲击力，人们往往惊叹于建筑灵动而和谐的美感。实际上，扎哈是将由黎曼几何得来的“叶状结构”在建筑上做了各种创作，加深人们对于建筑的理解与分析。

北京大兴国际机场

以扎哈设计的北京大兴国际机场为例，如果我们从空中俯瞰这座机场的棚顶结构，会发现它酷似一个六芒星的形状。然而，当我们仔细观察它的曲面构成时，会发现这座建筑实际上是由独特的“叶状结构”所形成的。从内部钢架结构的角度来看，这个设计包含了两簇彼此垂直的曲线结构，这些曲线结构在中心位置形成了一个稳定的奇异点，为整个建筑增添了稳固性和视觉吸引力。

3、罗氏几何

罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何。与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理（过直线之外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”被代替为“双曲平行公理”即“过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行”）。

双曲抛物面是罗氏几何的一个重要模型。每个面上都有两条抛物线，形成的结构既能抗压也能抗拉。又因形状酷似马鞍，也被称作“马鞍面”。它的重要特征——直纹曲面，即它可看成由两族直线构成。这个特点为后期施工带来极大的便利性。（我们常吃的某些薯片就是马鞍面哦）

在建筑上，将马鞍面运用到极致的是菲利克斯·坎德拉。同时，他也是混凝土薄壳大师。由“马鞍面”所形成的飘逸的屋面，在他的建筑作品中成为了典型标签。从1个、3个到多个都建了一遍。

一个马鞍面——帕尔米拉教堂

三个马鞍面——圣维特生·得·保罗教堂

三块马鞍面壳靠在一起，中间通过钢桁架相连，形成透明光带，像森林里的一顶白帽子。

四个马鞍面——霍奇米洛克餐厅

多个马鞍面——Bacardí 瓶装厂

4、分形几何

分形几何学主要研究的是复杂且具有自相似性的不规则几何形态，它被视为连接人造物与大自然的关键几何学。这种几何学已广泛应用于各个设计领域。分形指的是在形态、功能、信息、时间及空间等方面，局部与整体具有统计意义上的相似性，也就是所谓的自相似性。这个概念是由芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）于1973年在法兰西学院的讲课时首次提出的。从数学的角度来看，分形理论将维数从整数扩展到分数，从而打破了拓扑集合维数为整数的限制。

分形几何在建筑设计中主要体现在两个主要方面。首先，它强调了建筑自身局部与整体之间的关系，以及建筑与其周围环境之间的联系。这种设计理念注重建筑与自然之间的和谐共存，以及建筑物与城市文脉的融合。其次，分形几何的自相似性为表达复杂非线性空间提供了重要的手段。这种自相似性可以体现在建筑物的形态、结构、纹理和色彩等方面，从而营造出独具特色的建筑风格。这种设计方法有助于创造出既具有独特性又能与周围环境相融合的建筑作品。

于成庆美术馆

于成庆美术馆是分形几何在建筑设计中的杰出代表。这一项目的设计灵感源于“捏泥巴”的过程，体现出设计师对材料的独特理解和创新应用。通过运用“龟裂纹”的形式，建筑整体与局部之间的关系得以巧妙地表达，同时无序中又蕴含着分形的简单规律，展现出分形几何的魅力。

建筑表皮的纹理与整体之间、表皮与不规则体块之间，以及不规则体块与自然环境之间，都形成了一种自相似性，这种自相似性在此逐级展开，最终实现了建筑与周围环境的完美融合。这种设计理念和手法不仅突显了分形几何的重要性和应用价值，更展示了建筑设计的创新思维和独特魅力。

5、拓扑几何

拓扑几何的发现为研究地形地貌以及生成自由的建筑空间与形式开辟了全新的领域。这种几何学主要关注的是形态的拓扑等价，即使在经过各种变换之后，物体的形状仍然保持不变。例如，圆形、方形和三角形在经过特定的拓扑变换后，它们的形状都可以互相转化。总的来说，只要不将闭曲面撕裂或割破，任何形态的变换都可以被认为是拓扑变换，也因此存在形态之间的拓扑等价。

从建筑设计的角度，拓扑几何的应用使得我们可以根据拓扑等价的原则，自由地改变围合空间的界面形态，创造出灵活多变的非线性建筑。但为了提高拓扑的复杂性，我们需要在这些形态中增加“洞”，这种技术专业术语称为“亏格”。

进一步突破这一限制，我们将涉及到拓扑优化的概念。简单来说，拓扑优化是从力学的角度出发，寻求在物体上以优雅的方式“开洞”。这一过程在满足力学性能要求的前提下，删除力学性能低效或无效区域的材料，并在需要增强力学性能的区域增加材料，最终使结构达到优化状态。

矶崎新的团队所设计的卡塔尔国际会议中心和上海喜马拉雅中心的公共空间，将“拓扑优化”做了很好的诠释。不仅满足建筑的功能需求、结构的力学性能，而且结合建筑的审美，形成了极具震撼力的建筑。

卡塔尔国际会议中心

将长达250m的入口支撑结构，运用拓扑优化的逻辑，设计成为类似“树干状”的有机形态。壮观的立面形如两棵相互交缠的大树，树干向上攀升，支撑着建筑的屋顶。

上海喜马拉雅中心

矶崎新于上海喜马拉雅中心的公共空间设计中也运用了拓扑优化技术，形成的结构线巨型的树干营造出生生不息、自然生长的林木形态空间。仿佛将公共空间置于人工造就的自然之林。

计算机技术的进步为建筑设计领域带来了新的机遇和挑战。数学中的几何原理为建筑师提供了更多的创作可能性，为建筑设计的创新与发展奠定了基础。小编将简要介绍建筑设计中常用的几种几何逻辑，希望能够激发大家对蕴藏在建筑设计背后的数学逻辑的兴趣和认识，同时感受建筑设计所带来的独特魅力和震撼。